في النهاية ستتمكن من
- التمييز بين P(B|A) وP(A|B).
- حساب احتمال التقاطع باستعمال الاحتمال الشرطي.
- التمييز بين الاستقلال والسحب دون إرجاع.
قبل أن تبدأ
الكسور والنسب المئوية والعمليات على الأحداث.
افهم
تقييد مجموعة الحالات
يرمز P(B|A)، أو PA(B)، إلى احتمال B علماً أن A محقق. نحصر النظر في الحالات التي يتحقق فيها A، ويجب أن يكون P(A)>0.
P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)
في شجرة الاحتمالات نضرب احتمالات الفروع على المسار نفسه، ونجمع احتمالات المسارات المتنافية التي تحقق الحدث المطلوب.
الاستقلال والتنافي
يكون الحدثان مستقلين إذا كان P(A∩B)=P(A)P(B). وعندما P(A)>0 يكافئ ذلك P(B|A)=P(B). أما الحدثان المتنافيان فلا يمكن وقوعهما معاً. إذا كان احتمال كل منهما غير منعدم فلا يكونان مستقلين.
السحب مع الإرجاع أو بدونه
يحتوي كيس على 5 كرات حمراء و3 زرقاء، ولكل كرة فرصة السحب نفسها. دون إرجاع، إذا كانت الأولى حمراء تبقى 4 حمراء بين 7 كرات، فيكون احتمال الحمراء الثانية 4/7. مع الإرجاع والخلط قبل السحب الثاني يعود هذا الاحتمال إلى 5/8.
مثال محلول خطوة بخطوة
مثال افتراضي: من بين 40 تلميذاً يشارك 24 في ورشة علمية S، ومن هؤلاء يشارك 18 أيضاً في ورشة الفرنسية F. من بين 16 الآخرين يشارك 8 في F. احسب P(F|S) وP(S|F).
- داخل مجموعة S يوجد 18 مشاركاً في F من أصل 24، إذن P(F|S)=18/24=3/4.
- عدد المشاركين في F هو 18+8=26، ومنهم 18 في S. إذن P(S|F)=18/26=9/13.
- البسط نفسه لكن المقام مختلف، لأننا لا نثبت الشرط نفسه في الحالتين.
حان دورك
تمرين 1
في الكيس السابق، احسب احتمال سحب كرتين حمراوين دون إرجاع.
تلميح
اضرب احتمالي المسار: حمراء ثم حمراء.
عرض التصحيح
الاحتمال هو (5/8)×(4/7)=5/14.
تمرين 2
لدينا P(A)=0.6 وP(B|A)=0.25. احسب احتمال التقاطع.
تلميح
استعمل صيغة الجداء.
عرض التصحيح
P(A∩B)=0.6×0.25=0.15.
تمرين 3
نسحب مرتين مع الإرجاع والخلط من الكيس نفسه. ما احتمال الحصول على زرقاء واحدة على الأقل؟
تلميح
احسب احتمال الحدث المضاد: لا كرة زرقاء.
عرض التصحيح
الاحتمال هو 1−(5/8)²=39/64.
أخطاء ينبغي تجنبها
- لا نقلب الشرط؛ فالاحتمالان الشرطيان ليسا متساويين عموماً.
- في السحب دون إرجاع يتغير عدد الكرات.
- قبل جمع احتمالات المسارات نتأكد من تنافيها.
اختبر فهمك
مرجع علمي
بطاقة أصلية من دراسة. المراجع للتحقق من المفاهيم دون إعادة نشر دروس أو تمارين الغير. تغطي هذه المجموعة مفاهيم مختارة ولا تمثل مقرراً رسمياً شاملاً. تأكد مع أستاذك من ملاءمتها لمقرر قسمك.
OpenStax — الرياضيات ↗المرجع بالإنجليزية. الشروح والتمارين الأصلية بالعربية والفرنسية.