À la fin, vous saurez
- Distinguer P(B|A) et P(A|B).
- Calculer une intersection avec une probabilité conditionnelle.
- Reconnaître l’indépendance et les tirages sans remise.
Avant de commencer
Fractions, pourcentages et opérations sur des événements.
Comprendre
Réduire l’univers
P(B|A), aussi notée PA(B), est la probabilité de B sachant A. On se place parmi les cas où A est réalisé. La condition impose P(A)>0.
P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)
Dans un arbre, on multiplie les probabilités le long d’un chemin. On additionne les probabilités de chemins incompatibles menant à l’événement recherché.
Indépendance ou incompatibilité ?
A et B sont indépendants si P(A∩B)=P(A)P(B). Lorsque P(A)>0, cela équivaut à P(B|A)=P(B). Deux événements incompatibles ne peuvent pas se produire ensemble : leur intersection est vide. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont donc pas indépendants.
Avec ou sans remise
Une urne contient 5 boules rouges et 3 bleues, chaque boule ayant la même chance d’être tirée. Sans remise, après une rouge il reste 4 rouges parmi 7 boules : P(R₂|R₁)=4/7. Avec remise et mélange avant le second tirage, cette probabilité redevient 5/8.
Exemple guidé
Exemple fictif : sur 40 élèves, 24 suivent un atelier scientifique S. Parmi eux, 18 suivent aussi un atelier de français F. Parmi les 16 autres élèves, 8 suivent F. Calculer P(F|S) et P(S|F).
- Parmi les 24 élèves de S, 18 suivent F : P(F|S)=18/24=3/4.
- Au total, 18+8=26 élèves suivent F. Parmi eux, 18 sont dans S : P(S|F)=18/26=9/13.
- Les deux fractions ont le même numérateur mais des dénominateurs différents : les conditions ne sont pas interchangeables.
À vous de jouer
Exercice 1
Dans l’urne 5 rouges/3 bleues, calculer la probabilité de deux rouges sans remise.
Un indice
Multipliez les probabilités du chemin rouge → rouge.
Voir la correction
P(R₁∩R₂)=(5/8)×(4/7)=5/14.
Exercice 2
On donne P(A)=0,6 et P(B|A)=0,25. Calculer P(A∩B).
Un indice
Utilisez la formule du produit.
Voir la correction
P(A∩B)=0,6×0,25=0,15.
Exercice 3
Deux tirages avec remise et mélange sont faits dans la même urne. Probabilité d’au moins une bleue ?
Un indice
Passez par l’événement contraire : aucune bleue.
Voir la correction
P(au moins une bleue)=1−P(deux rouges)=1−(5/8)²=39/64.
Les erreurs à éviter
- Ne pas inverser la condition : P(B|A) n’est généralement pas P(A|B).
- Sans remise, le nombre de boules change.
- Avant d’additionner des chemins, vérifier qu’ils sont incompatibles.
Vérifiez votre compréhension
Référence scientifique
Fiche originale Dars Maroc. Les références servent à vérifier les notions ; aucun cours ni exercice tiers n’est reproduit. Cette collection couvre des notions choisies et ne constitue pas un programme officiel exhaustif. Adéquation au programme de votre classe à confirmer avec votre enseignant.
OpenStax — Mathématiques ↗Référence en anglais. Rédaction et exercices originaux en français et arabe.